ΧΟΡΗΓΟΙ

Ο Kurt Gödel και τα όρια της λογικής


του Στέλιου Σταμπολάκη

 

Οι τελευταίοι αιώνες αξίζουν πράγματι τον θαυμασμό μας, γιατί στη διάρκειά τους οι επιστήμες, τις βάσεις των οποίων έθεσαν οι αρχαίοι, έφτασαν σε υψηλό και συνεχώς βελτιούμενο βαθμό τελειότητας με τις μελέτες και τα πειράματα διακεκριμένων ερευνητών, αλλά και με την παρουσία προσωπικοτήτων εμφανούς οξύνοιας και διανοητικής υπέρβασης σε συγκεκριμένους επιστημονικούς τομείς. Τέτοιες προσωπικότητες μένουν στην ιστορία σαν ιδιοφυίες στην οικογένεια των οποίων ανήκει και ο μαθηματικός  Kurt Gödel. Μέχρι (τουλάχιστον) το τέλος του 19ου αιώνα, πολλές αποδείξεις της ύπαρξης (ή μη ύπαρξης) του Θεού μόνο με τη λογική προτείνονταν με σοβαρές προθέσεις, όπως  προτείνονταν και "λογικές" αποδείξεις άλλων ισχυρισμών πιο κοντά στην επιστήμη, όπως η ύπαρξη του (άπειρου) συνόλου των φυσικών αριθμών. Το θεμελιακό πρόβλημα του αν υπάρχουν λογικές αλήθειες που αποδείχνονται μόνο με τη λογική -και επομένως ισχύουν ανεξάρτητα από τη δομή του εξωτερικού κόσμου- και ποιες μπορεί να είναι αυτές οι αλήθειες, τέθηκε (τουλάχιστον έμμεσα) ως το βασικό πρόβλημα της λογικής γύρω στα μέσα του 19ου αιώνα, και λύθηκε τελεσίδικα με το περίφημο Θεώρημα μη Πληρότητας των Μαθηματικών του Goedel το 1928. Ένα θεώρημα που έπεσε σαν κεραυνός εν αιθρία στη μαθηματική κοινότητα και  απέδειξε εμμέσως  πλην σαφώς ότι υπάρχουν όρια ακόμα και στη θεϊκή δύναμη.

                                                                      Για τον Σύλλογο Φίλων Αστρονομίας Κρήτης



                                                          Ο Kurt Gödel και τα όρια της λογικής

Το έργο του Kurt Gödel, μιας μαθηματική ς ιδιοφυίας, ήταν αφιερωμένο στον ορθολογισμό.
Όχι όμως και η προσωπική του ζωή.


     Συγγραφέας:  John W. Dawson, Jr.                Scientific American  Αύγουστος 1999
     Απόδοση:       Αριστείδης Μουζακίτης


   
  Ένας άνθρωπος τυπικός, επιφυλακτικός και κάπως υποσιτισμένος. Η φυσιογνωμία του και τα γραπτά του είναι άγνωστα στους περισσότερους, εξαιρουμένων λίγων φιλοσόφων και επιστημόνων της μαθηματικής λογικής. Πρόκειται για τον Kurt Gödel, διάσημο για τα θεωρήματα μη πληρότητας, οι λογικές συνέπειες των οποίων άσκησαν μεγάλη επίδραση στη θεμελίωση των μαθηματικών και την επιστήμη των υπολογιστών. Η ιστορία της ζωής του και του έργου του είναι μια αδιάκοπη αναζήτηση του ορθολογισμού στο σύνολο της ανθρώπινης εμπειρίας, αναζήτηση που διαδραματίστηκε με υπόβαθρο μια περιοδική ψυχική ανισορροπία.


   Ο Gödel απέδειξε ότι οι μαθηματικές μέθοδοι που χρησιμοποιούνται ήδη από την εποχή του Ευκλείδη δεν επαρκούν για να ανακαλυφθεί ό,τι είναι αληθές γύρω από τους φυσικούς αριθμούς. Η ανακάλυψή του υπέσκαψε τα θεμέλια πάνω στα οποία έχει χτιστεί όλο το οικοδόμημα των μαθηματικών έως τον εικοστό αιώνα, αποτέλεσε το ερέθισμα να αναζητηθούν εναλλακτικές λύσεις ενώ παράλληλα στάθηκε η αφορμή ενός ζωηρού φιλοσοφικού διαλόγου γύρω από τη φύση της αλήθειας. Οι καινοτόμες τεχνικές του, οι οποίες μπορούν εύκολα να εφαρμοστούν σε υπολογιστικούς αλγόριθμους, αποτέλεσαν τη βάση της σύγχρονης επιστήμης των υπολογιστών.


  Γεννημένος στις 28 Απριλίου του 1906 στο Brno της Μοραβίας, ο Gödel ήταν ο δεύτερος από τα δυο παιδιά τού Rudolf και της Marianne Gödel, εκπατρισμένων Γερμανών των οποίων οι οικογένειες συνδέονταν με τη βιομηχανία υφασμάτων της πόλης. Ο Gödel δεν είχε μορφωμένους προγόνους, ο δε πατέρας του ήταν ένας απλός απόφοιτος εμπορικής σχολής. Όντας όμως φιλόδοξος και εργατικός, ο Rudolf Gödel  ανήλθε στην ιεραρχία, έγινε πρώτα διευθυντής και στη συνέχεια συνιδιοκτήτης ενός εργοστασίου υφασμάτων στο Brno. Στην πορεία απέκτησε ικανό πλούτο ώστε να αγοράσει μια βίλα σε περιζήτητη περιοχή και να στείλει τα παιδιά του σε γερμανόγλωσσα ιδιωτικά σχολεία, όπου και οι δυο γιοι του διέπρεψαν στις σπουδές τους.


Πράγματι, κατά τη διάρκεια της σχολικής του ζωής, ο νεαρός Kurt μόνο μια φορά πήρε βαθμό που δεν ήταν “άριστα” σε κάποιο μάθημα (στα μαθηματικά!). Ωστόσο δεν έδειξε πρώιμα σημάδια ιδιοφυίας. ΄Ηταν παιδί με άκρως ερευνητική διάθεση, σε τέτοιο βαθμό που του δόθηκε το παρατσούκλι der Herr Warum (Ο κύριος Γιατί). Ήταν όμως επίσης εσωστρεφής, ευαίσθητος και κάπως φιλάσθενος. Περίπου σε ηλικία οκτώ ετών, προσεβλήθη από ρευματικό πυρετό που, ενώ φαίνεται ότι δεν του δημιούργησε μόνιμη φυσική βλάβη, τον κράτησε ωστόσο μακριά από το σχολείο για αρκετό χρονικό διάστημα και ενδεχομένως του υπέθαλψε σε βαθμό υπερβολής την έγνοια για την υγεία και τη δίαιτά του, έγνοια που συν τω χρόνω έπαιρνε μεγαλύτερες διαστάσεις.

Η Εσωστρέφεια
   
   Το 1924, μετά την αποφοίτησή του από το Realgymnasium, δηλαδή το τεχνικό λύκειο, στο Brno, ο Gödel άφησε την πατρίδα του και γράφτηκε στο πανεπιστήμιο της Βιέννης, όπου δυο χρόνια πριν είχε πάει και ο αδελφός του για να ακολουθήσει ιατρικές σπουδές. Παρότι η οικονομία της Βιέννης ήταν κατεστραμμένη τότε, το πανεπιστήμιό της διατηρούσε σε μεγάλο βαθμό την παλιά του υπεροχή. Παρ’ όλες λοιπόν τις υλικές στερήσεις, η Βιέννη του μεσοπολέμου έμελλε να γίνει το περιβάλλον μέσα στο οποίο άνθισαν με εντυπωσιακό τρόπο οι επιστήμες, οι τέχνες και η φιλοσοφία.


   Την εποχή της εγγραφής του, ο Gödel σχεδίαζε να σπουδάσει φυσική. Μετά από λίγο όμως, εντυπωσιασμένος από τις παραδόσεις των μαθημάτων των καθηγητών Fhillip Furtwanler και Hans Hahn, στράφηκε στα μαθηματικά. Το ασυνήθιστο ταλέντο του προσέλκυσε το γενικό ενδιαφέρον -τόσο που, μόλις δυο χρόνια μετά την εγγραφή του, τον προσκάλεσαν να παρακολουθήσει τις συζητήσεις μιας ομάδας που είχαν συστήσει ο Hahn και ο φιλόσοφος Moritz Schlick δυο χρόνια νωρίτερα. Η ομάδα, που αργότερα έμελλε να γίνει γνωστή ως “Κύκλος της Βιέννης”, αντλούσε την έμπνευσή της από τα συγγράμματα του Ernst Mach ενός υπέρμαχου του ορθολογισμού, ο οποίος πρέσβευε ότι τα πάντα μπορούν να εξηγηθούν με τη λογική και την εμπειρική παρατήρηση, χωρίς την προσφυγή σε μεταφυσικά μέσα.


   Ο Κύκλος έφερε τον Gödel σε επαφή με στοχαστές όπως ο φιλόσοφος Rudolf Carnap και ο μαθηματικός Karl Menger και τον βοήθησε να έλθει σε επαφή με τα συγγράμματα της σύγχρονης μαθηματικής λογικής και φιλοσοφίας. Ειδικότερα, ο Κύκλος εντρυφούσε στα συγγράμματα του Lundvig Wittgestein. Τον τελευταίο τον απασχολούσε σε ποιο βαθμό είναι δυνατό η γλώσσα να μιλήσει τη γλώσσα και αυτό ενδέχεται να παρακίνησε τον Gödel να εξετάσει ανάλογα ερωτήματα για τα μαθηματικά. Ορισμένα μέλη του Κύκλου, συμπεριλαμβανομένων των Carnap, Hahn και του φυσικού Hans Thirring, ήταν επίσης δραστήριοι ερευνητές παραψυχολογικών φαινομένων -ένα θέμα για το οποίο επέδειξε ιδιαίτερο ενδιαφέρον και ο Gödel. (Χρόνια αργότερα, σχολίαζε σε κοντινό του φίλο, τον οικονομολόγο Oskar Morgenstern, ότι στο μέλλον θα θεωρηθεί ιδιαίτερα παράξενο το γεγονός ότι οι επιστήμονες του εικοστού αιώνα, ενώ ανακάλυψαν τα στοιχειώδη φυσικά σωμάτια, απέτυχαν ακόμη και να ασχοληθούν με το ενδεχόμενο να υπάρχουν στοιχειώδεις ψυχικοί παράγοντες.)


   Ο Gödel δεν υιοθέτησε όμως τη θετικιστική φιλοσοφική αντίληψη του Κύκλου, η οποία επέκτεινε τις ιδέες του Mach. Αντιθέτως, ήταν Πλατωνιστής: πίστευε ότι, εκτός από τα αντικείμενα, υπάρχει και ο κόσμος των ιδεών στον οποίο οι άνθρωποι έχουν πρόσβαση με τη βοήθεια της ενόρασης. Έτσι. κατ’ αυτόν μια πρόταση έχει μια ορισμένη “τιμή αληθείας” - είναι αληθής ή ψευδής- ανεξάρτητα αν έχει αποδειχθεί, αν υπόκειται σε εμπειρική επαλήθευση ή διάψευση. Κατά την άποψή του, αυτή η φιλοσοφική θέση ήταν αρωγός στην αξιοσημείωτη μαθηματική ενορατική του δεινότητα.


   Αν και ο Gödel ήταν προσεκτικός παρατηρητής και καταφανώς πανέξυπνος, σπάνια συνεισέφερε στις συζητήσεις του Κύκλου, εκτός αν αυτές είχαν ως θέμα τους τα μαθηματικά. Συνεσταλμένος και ασκητικός, είχε ελάχιστους κοντινούς φίλους. (του άρεσε, όμως, η συντροφιά των γυναικών και ήταν φανερό ότι ασκούσε έλξη σ’ αυτές.)
Μετά το 1928 σπάνια παρακολουθούσε τις συναντήσεις της ομάδας, δραστηριοποιήθηκε όμως σε μια ακαδημαϊκή σειρά συζητήσεων περί τα μαθηματικά, που οργάνωνε ο Menger. Τα πρακτικά τους δημοσιεύονταν ως ετήσιο επιστημονικό περιοδικό, στο οποίο ο Gödel συνεισέφερε ως συντάκτης και ως συγγραφέας περισσότερων από δώδεκα άρθρων.

Μια Επιφυλακτική Ιδιοφυία

   Κατά τη διάρκεια της ίδιας περιόδου, ο Gödel απέκτησε αίφνης διεθνές κύρος στον τομέα της μαθηματικής λογικής. Δυο συγκεκριμένες εργασίες του τον έφεραν σε εξέχουσα θέση. Η μια ήταν η διδακτορική του διατριβή, την οποία υπέβαλε στο πανεπιστήμιο της Βιέννης το 1929 και δημοσιεύτηκε το επόμενο έτος. Η άλλη ήταν η πραγματεία “Για τις μη αποκρίσιμες προτάσεις των Principia Mathematica και άλλων συναφών συστημάτων”, που δημοσιεύτηκε στα γερμανικά το 1931 και υπεβλήθη το 1932 ως διατριβή για την παροχή άδειας διδασκαλίας.
Η διατριβή υπό τον τίτλο «Η πληρότητα των Αξιωμάτων του Συναρτησιακού Λογισμού Πρώτης Τάξεως» έλυσε ένα ανοικτό πρόβλημα που είχαν θέσει οι David Hilbert και Wilhelm Ackermann σε εγχειρίδιό τους το 1928 με τον τίτλο Grundzuge der theoretischen (τα θεμέλια της Θεωρητικής Λογικής).


   Το ερώτημα ήταν: είναι δυνατόν οι κανόνες για τον χειρισμό εκφράσεων που περιέχουν λογικούς συνδέσμους (όπως “ και”, “ή” κ.λ.π.) και ποσοδείκτες (“για κάθε” και “υπάρχει”), όπως αυτοί καθορίστηκαν στο ανωτέρω εγχειρίδιο, αν επισυναφθούν στα αξιώματα μιας μαθηματικής θεωρίας, να παράγουν όλες τις ισχύουσες προτάσεις και μόνον αυτές σε οποιαδήποτε δομή ικανοποιεί τα εν λόγω αξιώματα; Με απλά λόγια, μπορούμε να αποδείξουμε όλες τις αληθείς προτάσεις ανεξάρτητα από την ερμηνεία που θα δώσουμε στα σύμβολα;
    Η αναμενόμενη απάντηση ήταν καταφατική και ο Gödel το επιβεβαίωσε. Με τη διατριβή του απέδειξε ότι οι αρχές της λογικής, όπως είχαν αναπτυχθεί μέχρι την εποχή του, ήταν επαρκείς για τον σκοπό που υπηρετούσαν, δηλαδή την απόδειξη όλων των αληθών προτάσεων με βάση ένα δεδομένο σύνολο αξιωμάτων. Δεν αποδείχτηκε, όμως, ότι όλες οι αληθείς προτάσεις για τους φυσικούς αριθμούς μπορούν να αποδειχθούν με βάση τα παραδεγμένα αξιώματα της θεωρίας αριθμών.


   Τα εν λόγω αξιώματα, που είχαν προταθεί από τον Ιταλό μαθηματικό Giuzeppe Peano το 1889, συμπεριλαμβάνουν την αρχή της επαγωγής. Η αρχή αυτή υποστηρίζει ότι, αν μια ιδιότητα αληθεύει για το μηδέν και επίσης αληθεύει για τον αριθμό n+1 κάθε φορά που αληθεύει για το φυσικό n, τότε αληθεύει για κάθε φυσικό αριθμό n. Το αξίωμα αυτό, που ορισμένες φορές ονομάζεται αρχή του ντόμινο -διότι αν, στο ομώνυμο παιχνίδι, ανατρέψουμε το πρώτο ντόμινο, γκρεμίζονται και τα υπόλοιπα- ίσως σας φανεί αυτονόητο. Ωστόσο, οι μαθηματικοί το βρήκαν προβληματικό διότι δεν αναφέρεται στους ίδιους τους αριθμούς μόνο αλλά σε ιδιότητές τους. Μια τέτοια “δευτέρας τάξεως” πρόταση θεωρήθηκε πολύ ασαφής και κακώς ορισμένη για να μπορέσει να αποτελέσει τη βάση της θεωρίας των φυσικών αριθμών. Έτσι, το αξίωμα της επαγωγής αναπλάστηκε ως ένα άπειρο σχήμα (-schema) παρόμοιων αξιωμάτων τα οποία αναφέρονται μάλλον σε συγκεκριμένους τύπους παρά σε γενικές ιδιότητες των αριθμών. Δυστυχώς, αυτά τα αξιώματα δεν χαρακτηρίζουν πλέον κατά τρόπο μοναδικό τους φυσικούς αριθμούς, όπως απέδειξε ο Σουηδός λογικολόγος Thoralf Skolem λίγα χρόνια πριν από την εργασία του Gödel: ικανοποιούνται επίσης και από άλλες δομές. Το θεώρημα πληρότητας του Gödel υποστηρίζει ότι μπορούν να αποδειχθούν όλες οι προτάσεις, που είναι λογική συνέπεια των αξιωμάτων. Υπό την εξής αίρεση: αν μια πρόταση ενώ αληθεύει για τους φυσικούς αριθμούς δεν αληθεύει για ένα άλλο σύστημα αντικειμένων το οποίο επίσης ικανοποιεί τα αξιώματα, τότε δεν μπορεί να αποδειχθεί. Αυτός ο περιορισμός δεν φάνηκε να αποτελεί σοβαρό πρόβλημα, καθότι οι μαθηματικοί ήλπιζαν ότι αντικείμενα μεταμφιεσμένα σε αριθμούς, αλλά κατ’ ουσίαν διαφορετικά απ’ αυτούς δεν υπήρχαν. Κι έτσι το επόμενο θεώρημα του Gödel έπεσε σαν κεραυνός εν αιθρία.


   Στην εργασία που εκπόνησε το 1931, ο Gödel απέδειξε ότι υπάρχει κάποια πρόταση για τους φυσικούς αριθμούς που είναι αναγκαστικά μη αποδείξιμη. (Δηλαδή υπάρχουν αντικείμενα που, ενώ ικανοποιούν τα αξιώματα της θεωρίας αριθμών, δεν συμπεριφέρονται κατά τα άλλα όπως οι φυσικοί αριθμοί). Θα μπορούσε κανείς να αποφύγει το “θεώρημα της μη πληρότητας” αν θεωρούσε όλες τις αληθείς προτάσεις ως αξιώματα. Όμως, η απόφαση ποιες προτάσεις είναι αληθείς και ποιες όχι καθίσταται εκ των προτέρων προβληματική. Ο Gödel απέδειξε ότι, όποτε τα αξιώματα μπορούν να χαρακτηριστούν από ένα σύνολο μηχανιστικών κανόνων, δεν έχει σημασία ποιες προτάσεις λαμβάνουμε ως αξιώματα: αν αυτές οι προτάσεις αληθεύουν για τους φυσικούς αριθμούς, κάποιες άλλες αληθείς προτάσεις για τους φυσικούς θα παραμένουν μη αποδείξιμες. Συγκεκριμένα, αν τα αξιώματα δεν αντιφάσκουν μεταξύ τους. τότε αυτό το γεγονός το ίδιο, κατάλληλα κωδικοποιημένο ως αριθμητική πρόταση θα είναι με βάση τα συγκεκριμένα αξιώματα, “τυπικά μη αποκρίσιμο” -ούτε αποδείξιμο ούτε μη αποδείξιμο. Οποιαδήποτε λοιπόν απόδειξη συνέπειας πρέπει να επικαλεστεί αρχές ισχυρότερες από τα ίδια τα αξιώματα.


   Η παραπάνω πρόταση έφερε σε δύσκολη θέση τον David Hilbert, που είχε οραματιστεί ένα πρόγραμμα διασφάλισης των θεμελίων των μαθηματικών μέσω μιας αυτοδύναμης διαδικασίας, με την οποία η συνέπεια των μαθηματικών θεωριών θα μπορούσε να εξαχθεί από τη συνέπεια άλλων απλούστερων, πιο προφανών θεωριών. Από την άλλη πλευρά, ο Gödel δεν θεώρησε ότι τα θεωρήματά του περί μη πληρότητας αποδεικνύουν την ανεπάρκεια της αξιωματικής μεθόδου, αλλά ότι η εξαγωγή των θεωρημάτων δεν μπορεί να γίνει τελείως μηχανική. Είχε την άποψη ότι τα θεωρήματά του δικαίωναν τον ρόλο της ενόρασης στη μαθηματική έρευνα.


   Οι ιδέες και οι μέθοδοι που εισήγαγε ο Gödel με την εργασία του περί μη πληρότητας έχουν κεντρική θέση στη θεωρία αναδρομών που είναι θεμελιώδης στην επιστήμη των υπολογιστών. Επεκτάσεις των ιδεών του έχουν επιτρέψει την περαιτέρω εξαγωγή θεωρημάτων σχετικών με τα όρια υπολογιστικών διαδικασιών. Ένα από αυτά είναι η μη επιλυσιμότητα του προβλήματος της περάτωσης “halting problem” -δηλαδή να προσδιοριστεί αν ένας τυχαίος υπολογιστής με τυχαία δεδομένα εισόδου θα περατώσει τη λειτουργία του και θα δώσει κάποιες τιμές εξόδου, ή αντίθετα, θα κολλήσει σε ένα άπειρο βρόχο. Ένα πρόσθετο θεώρημα είναι ότι δεν υπάρχει πρόγραμμα που ενώ δεν αλλοιώνει το λειτουργικό σύστημα ενός υπολογιστή παράλληλα είναι σε θέση να εντοπίζει εκείνα τα προγράμματα που το αλλοιώνουν (ιοί).

Καταφύγιο στην Αμερική

   Ο Gödel πέρασε το ακαδημα
ϊκό έτος 1933-34 στο Princeton του New στο τότε νεοϊδρυθέν Ινστιτούτο Ανώτατων Σπουδών, όπου και έδινε διαλέξεις πάνω στα θεωρήματά του περί μη πληρότητας.


Του προτάθηκε να παραμείνει και για τον επόμενο χρόνο αλλά λίγο μετά την επιστροφή του στη Βιέννη κατέρρευσε διανοητικά. Καθώς δεν είναι δυνατή η πρόσβαση στα εμπισ
τευτικά ιατρικά έγγραφα (συμβουλευόταν ψυχίατρο στο Princeton), η διάγνωση της ασθένειάς του παραμένει αναγκαστικά άγνωστη.


Τα προβλήματά του φαίνε
ται να άρχισαν με υποχονδρία: απέκτησε εμμονή για τη δίαιτά του και κρατούσε καθημερινά στοιχεία για τη θερμοκρασία του σώματός του και την κατανάλωση γάλατος μαγνησίας. Φοβόταν κάποια τυχαία ή, αργότερα, εσκεμμένη δηλητηρίαση. Η συγκεκριμένη φοβία τον οδήγησε στην αποφυγή του φαγητού και μοιραία στον υποσιτισμό. Ταυτόχρονα, έπαιρνε διάφορα χάπια για να αντιμετωπίσει ένα καρδιακό πρόβλημα που βρισκόταν μόνο στη φαντασία του.


   Είναι εκπληκτικό ότι, εκτός από 
τις στιγμές κρίσης, τα ψυχικά προβλήματα του Gödel πολύ λίγο εμπόδισαν την εργασία του. Το πρόσωπο που τον στήριξε ήταν η Adele Porkert, την οποία είχε γνωρίσει σε ένα καμπαρέ κατά τα φοιτητικά του χρόνια. Η Porkert ήταν έξι χρόνια μεγαλύτερη από τον Gödel, χωρισμένη, καθολική, με πρόσωπο παραμορφωμένο από ένα εκ γενετής σημάδι, εργαζόταν δε ως χορεύτρια. Οι γονείς του τη θεώρησαν σκανδαλώδη. Οι δυο τους όμως ήταν αφοσιωμένοι ο ένας στον άλλον. Η Porkert, κάνοντας συχνά τον δοκιμαστή, καταπράυνε τις αυξανόμενες φοβίες του Gödel, ότι τάχα κάποιος προσπαθούσε να τον δηλητηριάσει. Μετά από μακρόχρονο ειδύλλιο, οι δυο τους παντρεύτηκαν τον Σεπτέμβριο του 1938, λίγο πριν επιστρέψει ο Gödel στην Αμερική για να διδάξει στο Ινστιτούτο Ανώτατων Σπουδών του πανεπιστημίου της Notre Dame, με αντικείμενο ορισμένα καινούργια θεωρήματά του στη θεωρία συνόλων.


   Αυτό του το επίτευγμα είχε ως αποτέλεσμα να λυθούν κάποιες αμφισβητήσιμες πλευρές της θεωρίας που αναφέρεται σε συλλογές αντικειμένων. Στα τέλη του δέκατου ένατου αιώνα, ο Γερμανός μαθηματικός Georg Cantor εισήγαγε την έννοια του μεγέθους ενός απειροσυνόλου. Σύμφωνα με αυτήν, ένα σύνολο Α είναι μικρότερο από ένα σύνολο Β αν, ανεξάρτητα από το πώς αντιστοιχίζονται με αμφιμονοσήμαντο τρόπο τα στοιχεία του Α με τα στοιχεία του Β. κάποια στοιχεία του Β μένουν χωρίς αντίστοιχο στο Α. Χρησιμοποιώντας αυτή την έννοια, ο Cantor απέδειξε ότι το σύνολο των φυσικών αριθμών είναι μικρότερο από το σύνολο των δεκαδικών. Διατύπωσε επιπλέον την εικασία ότι δεν υπάρχει σύνολο του οποίου το μέγεθος είναι ανάμεσα στα μεγέθη αυτών των δυο -ισχυρισμός που έγινε γνωστός ως υπόθεση του συνεχούς.


   Το 1908 ο συμπατριώτης τ
ου Cantor, Ernst Zermelo, σχημάτισε έναν κατάλογο αξιωμάτων για τη θεωρία συνόλων. Ανάμεσά τους ήταν το αξίωμα της επιλογής, με το οποίο δεχόμαστε (κατά μια εκδοχή του) ότι, αν μας δοθεί μια συλλογή συνόλων που μεταξύ τους δεν έχουν κοινά στοιχεία και το καθένα έχει ένα τουλάχιστον στοιχείο, υπάρχει ένα σύνολο που περιέχει ακριβώς ένα στοιχείο από το κάθε σύνολο της συλλογής.


Αν και φαίνεται αναντίρρητο -γιατί να μην μπορεί κανείς να επιλέξει ένα στοιχείο από κάθε σύνολο;- το αξίωμα της επιλογής οδηγεί σε πληθώρα καθόλου προφανών από διαισθητική άποψη συνεπειών. Συνεπάγεται, παραδείγματος χάριν, ότι μπορούμε να διαμερίσουμε μια σφαίρα σε ένα πεπερασμένο αριθμό κομματιών, να τα ξεχωρίσουμε και, χρησιμοποιώντας μόνο μη ελαστικές κινήσεις, να τα επανασυνθέσουμε, με τέτοιο τρόπο ώστε να σχηματιστεί μια καινούργια σφαίρα διπλάσιου όγκου.


   Αυτό είχε ως αποτέλεσμα το αξίωμα
να αμφισβητηθεί ιδιαίτερα. Οι μαθηματικοί υποπτεύθηκαν -και δικαιολογημένα όπως αποδείχτηκε ότι ούτε το αξίωμα επιλογής, ούτε η υπόθεση του συνεχούς μπορούν να συναχθούν από τα υπόλοιπα αξιώματα της θεωρίας συνόλων. Φοβήθηκαν ότι η χρήση αυτών των αξιωμάτων ήταν πιθανό να οδηγήσει σε αντιφάσεις. Ο Gödel όμως απέδειξε ότι και οι δυο αρχές: είναι συνεπείς με τα υπόλοιπα αξιώματα. Τα συνολοθεωρητικά συμπεράσματα του Gödel απάντησαν σ ένα ερώτημα είχε θέσει ο Hilbert σε μια διάλεξή του στο Διεθνές Συνέδριο των Μαθηματικών. Από μόνα τους αποτελούσαν ήδη μείζον επίτευγμα. δεν ήταν όμως ικανά για να του χαρίσουν μια μόνιμη ακαδημακή θέση. Κατά τη διάρκεια του έτους που έμεινε στο Ινστιτούτο της Notre Dame, η άδεια να διδάσκει στα Αυστριακά Πανεπιστήμια ανακλήθηκε. Όταν το καλοκαίρι του 1939 επέστρεψε στη Βιέννη για να ξανασμίξει με τη σύζυγό του, κλήθηκε για ιατρικές εξετάσεις και κρίθηκε κατάλληλος για να καταταχθεί στον στρατό των Ναζί.

Βαθιοί Φόβοι

   Μέχρι τότε, ο Gödel φαίνεται ότι κρατούσε αποστάσεις από τις φοβερές εξελίξεις που συνέβαιναν στην Ευρώπη. Ενδιαφερόταν για την πολιτική και ήταν ενήμερος των γεγονότων αλλά, κατ’ αλλόκοτο τρόπο, δεν τον άγγιζαν. Η έλλειψη ψυχικής επαφής με τους ανθρώπους τον εμπόδιζε πιθανώς να εκτιμήσει τη σπουδαιότητα των όσων συνέβαιναν. Παρουσιαζόταν να μην έχει συναίσθηση της τύχης που επιφυλάχτηκε για τους συναδέλφους του καθηγητές, πολλοί από τους οποίους ήταν Εβραίοι, και παρέμεινε απορροφημένος από την εργασία του ενώ ο κόσμος γύρω του κατέρρεε. Τελικά κατάλαβε ότι κατέρρεε και ο ίδιος.


    Σ’ αυτή την απελπιστική κατάσταση, χωρίς δουλειά και με επικείμενη τη στρατολόγησή του, απευθύνθηκε στο Ινστιτούτο Ανώτατων Σπουδών για να εξασφαλίσει βίζες εξόδου για τον εαυτό του και τη γυναίκα του. Οι προσπάθειές του απέδωσαν και τον Ιανουάριο του 1940 το ζευγάρι ξεκίνησε ένα μακρινό ταξίδι μέσω του υπερσιβηρικού σιδηρόδρομου. Από τη Yokohama συνέχισαν με πλοίο για το San Fransisco και από εκεί με τρένο για το Princeton, όπου και έφτασαν στα μέσα Μαρτίου.


   Ο Gödel δεν ξανάφυγε από τις Ηνωμένες Πολιτείες. Μετά από μια σειρά συμβάσεων ετήσιας διάρκειας, το 1946 έγινε μόνιμο μέλος του συλλόγου καθηγητών του Ινστιτούτου. Δυο χρόνια αργότερα απέκτησε την αμερικανική υπηκοότητα. (Σ’ αυτή την περίσταση, ο δικαστής που τον όρκισε διέπραξε το ατόπημα να ρωτήσει τη γνώμη του Gödel για το Αμερικανικό Σύνταγμα, πράγμα που έδωσε αφορμή για μια σύντομη διάλεξη επί των ασυνεπειών του.) Ο Gödel όμως δεν ανακηρύχτηκε καθηγητής παρά μόλις το 1953 -το ίδιο έτος που εξελέγη μέλος της Εθνικής Ακαδημίας Επιστημών- εν μέρει διότι ο εκφρασμένος φόβος του ότι δηλητηριώδη αέρια διέφευγαν από το ψυγείο του, δημιούργησε ανησυχίες για την ψυχική του ισορροπία. Κατά τη διάρκεια αυτών των ετών, ο φίλος του Άλμπερτ Αϊνστάιν ανέλαβε το καθήκον να τον φροντίζει όσο καλύτερα μπορούσε, περπατώντας καθημερινά μαζί του. Οι συζητήσεις τους φαίνεται να είχαν καταπραϊντικό αποτέλεσμα πάνω στον Gödel. Μετά τη μετανάστευσή του, ο Gödel εγκατέλειψε τη θεωρία συνόλων και στράφηκε στη φιλοσοφία και τη θεωρία της σχετικότητας. Το 1949 απέδειξε ότι σύμπαντα στα οποία το ταξίδι στο παρελθόν είναι δυνατό είναι συμβατά με τις εξισώσεις του Αϊνστάιν.


   Το 1950 παρουσίασε αυτά του τα συμπεράσματα στο Διεθνές Συνέδριο των Μαθηματικών και το επόμενο έτος έκανε την τιμητική διάλεξη Gibbs στην ετήσια συνάντηση της Αμερικάνικης Μαθηματικής Εταιρίας. Στο διάστημα όμως μεταξύ αυτών των δύο ομιλιών κινδύνευσε από αιμορραγικό έλκος, το οποίο παραμέλησε μέχρι που έφτασε σε ιδιαίτερα προχωρημένο στάδιο λόγω της έλλειψης εμπιστοσύνης προς τους γιατρούς.


Η τελευταία δημοσιευμένη εργασία του Gödel εμφανίστηκε το 1958. Έκτοτε άρχισε να κλείνεται όλο και περισσότερο στον εαυτό του, γινόταν ολοένα πιο ισχνός, παρανοϊκός και υποχόνδριος. Η τελευταία του δημόσια εμφάνιση ήταν το 1972, όταν το πανεπιστήμιο Rockefeller του απένειμε τιμητικό διδακτορικό δίπλωμα.


Τρία χρόνια αργότερα τιμήθηκε με το Εθνικό Μετάλλιο της Επιστήμης, όμως δεν παραβρέθηκε στην τελετή απονομής με αιτιολογικό τα προβλήματα υγείας. Την 1η Ιουλίου 1976, όταν έφτασε σε ηλικία 70 ετών, ηλικία υποχρεωτική για συνταξιοδότηση, ανακηρύχτηκε επίτιμος διδάκτωρ του Ινστιτούτου.


   Οι ευθύνες του όμως δεν λιγόστεψαν, καθότι, λίγους μήνες πριν, η σύζυγός του, που χρόνια τον έθρεφε και τον προστάτευε, υπέστη εγκεφαλικό επεισόδιο που την οδήγησε σε αναπηρία. Ήταν η σειρά του να τη φροντίσει και τη φρόντιζε, με αφοσίωση, έως τον Ιούνιο του 1977, έτος κατά το οποίο η γυναίκα του χειρουργήθηκε επειγόντως και παρέμεινε στο νοσοκομείο επί έξι μήνες.


Περίπου αυτή την εποχή ο Morgenstern, ο φίλος που βοήθησε στη φροντίδα του Gödel μετά τον θάνατο του Αϊνστάιν, πέθανε από καρκίνο. Έτσι ο Gödel έπρεπε να αντιμετωπίσει μόνος του την αυξανόμενη παράνοια. Εν όψει μιας τέτοιας προοπτικής χειροτέρεψε αστραπιαία. Η φοβία της δηλητηρίασης τον οδήγησε σε ασιτία και το τέλος επήλθε τη 14η Ιανουαρίου 1978.


   Η Adele Gödel επέζησε του συζύγου της κατά τέσσερα έτη. Με τον θάνατό της, στις 4 Φεβρουαρίου του 1981, κληροδότησε τα δικαιώματα των εργασιών του Gödel στο Ινστιτούτο Ανώτατων Σπουδών. Αν και απόβλητη από τη σνομπ κοινωνία του Princeton, ήταν περήφανη για το έργο του συζύγου της και πιθανότατα αντιλαμβανόταν ότι δίχως τη δική της βοήθεια ο σύζυγός της δεν θα είχε πετύχει πολλά.


   Κατά τη διάρκεια της ζωής του, ο Gödel δημοσίευσε εξαιρετικά λίγες εργασίες - πράγματι, πιο λίγες από οποιονδήποτε άλλον μεγάλο μαθηματικό, του Bernand Riemann εξαιρουμένου- η επίδρασή του όμως είναι τεράστια. Ουσιαστικά, οι εργασίες του έχουν επηρεάσει σχεδόν όλους τους κλάδους της σύγχρονης λογικής. Κατά την τελευταία δεκαετία, και άλλες εργασίες του έχουν μεταφραστεί από το απαρχαιωμένο γερμανικό στενογραφικό σύστημα που χρησιμοποιούσε και έχουν δημοσιευτεί μετά τον θάνατό του στον τρίτο τόμο των Απάντων του. Το περιεχόμενό τους, συμπεριλαμβανομένης και της τυποποίησης του λεγόμενου οντολογικού θεωρήματος για την ύπαρξη Θεού, έχει επίσης αρχίσει να προσελκύει το ενδιαφέρον. Τελικά, το εύρος του έργου του γίνεται γνωστό και σε όσους δεν ανήκουν στη μαθηματική κοινότητα.


<<site map                                       
                                                                   

Χρόνος εκτέλεσης : 0.074 δευτερόλεπτα